Единичный отрезок. Видеоурок «Координатный луч. Определение на шкале единичного отрезка и координат точки Как найти координаты на луче

§ 1 Координатный луч

В этом уроке Вы научитесь строить координатный луч, а также определять координаты точек, расположенных на нем.

Чтобы построить координатный луч, нам сначала потребуется, конечно же, сам луч.

Обозначим его OX, точка O - начало луча.

Забегая вперед, скажем, что точку O называют началом отсчета координатного луча.

Луч можно изображать в любом направлении, однако во многих случаях луч проводят горизонтально и вправо от его начала.

Итак, начертим луч ОХ горизонтально слева направо и обозначим его направление стрелкой. Отметим на луче точку Е.

Над началом луча (точкой О) напишем 0, над точкой Е - цифру 1.

Отрезок ОЕ называют единичным.

Так, шаг за шагом, откладывая единичные отрезки, получим бесконечную шкалу.

Числа 0, 1, 2 называют координатами точек О, Е и А. Пишут точка О и в скобках указывают ее координату ноль - О(о), точка Е и в скобках ее координата один - Е(1), точка А и в скобках ее координата два - А(2).

Таким образом, для построения координатного луча необходимо:

1. начертить луч ОХ горизонтально слева направо и обозначить его направление стрелкой, над точкой O написать число 0;

2. нужно задать так называемый единичный отрезок. Для этого на луче нужно отметить какую-нибудь точку, отличную от точки O (на этом месте принято ставить не точку, а штрих), и над штрихом записать число 1;

3. на луче от конца единичного отрезка нужно отложить еще один отрезок, равный единичному и тоже поставить штрих, далее от конца уже этого отрезка нужно отложить еще один единичный отрезок, также отметить штрихом и так далее;

4. чтобы координатный луч принял законченный вид, осталось записать над штрихами слева направо числа из натурального ряда чисел: 2, 3, 4, и так далее.

§ 2 Определение координат точки

Давайте выполним задание:

На координатном луче нужно отметить следующие точки: точку М с координатой 1, точку Р с координатой 3 и точку А с координатой 7.

Построим координатный луч с началом в точке О. Единичный отрезок этого луча выберем 1 см, то есть 2 клетки (через 2 клетки от нуля поставим штрих и число 1, дальше еще через две клетки - штрих и число 2; затем 3; 4; 5; 6; 7 и так далее).

Точка М будет расположена правее нуля на две клетки, точка Р будет расположена правее нуля на 6 клеток, так как 3 умножить на 2, будет 6, и точка А - правее нуля на 14 клеток, так как 7 умножить на 2, получится 14.

Следующее задание:

Найдите и запишите координаты точек А; В; и С отмеченных на данном координатном луче

Данный координатный луч имеет единичный отрезок, равный одной клетке, значит координата точки А равна 4, координата точки В равна 8, координата точки С равна 12.

Подведем итог, луч ОХ с началом отсчета в точке О, на котором указаны единичный отрезок и направление, называют координатным лучом. Координатный луч представляет собой не что иное, как бесконечную шкалу.

Число, которое соответствует точке координатного луча, называется координатой этой точки.

Например: А и в скобках 3.

Читают: точка А с координатой 3.

Следует заметить, что очень часто координатный луч изображают лучом с началом в точке O, и откладывают от его начала единственный единичный отрезок, над концами которого записывают числа 0 и 1. В этом случае подразумевается, что мы при необходимости можем легко продолжить построение шкалы, последовательно откладывая единичные отрезки на луче.

Таким образом, в этом уроке Вы научились строить координатный луч, а также определять координаты точек, расположенных на координатном луче.

Список использованной литературы:

1. Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 31-е изд., стер. - М: 2013.
2. Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор - Попов М.А. – 2013.
3. Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор - Минаева С.С. – 2014.
4. Дидактические материалы по математике 5 класс. Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. – 2010.
5. Контрольные и самостоятельные работы по математике 5 класс. Авторы - Попов М.А. - 2012.
6. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009.

Для удобного изображения дроби на координатном луче важно правильно выбрать длину единичного отрезка.

Самый удобный вариант отметить на координатном луче дроби — взять единичный отрезок из стольких клеточек, каков знаменатель дробей. Например, если требуется изобразить на координатном луче дроби со знаменателем 5, единичный отрезок лучше взять длиной в 5 клеточек:

В этом случае изображение дробей на координатном луче не вызовет затруднений: 1/5 — одна клеточка, 2/5 — две, 3/5 — три, 4/5 — четыре.

Если требуется отметить на координатном луче дроби с разными знаменателями, желательно, чтобы число клеточек в единичном отрезке делилось на все знаменатели. Например, для изображения на координатном луче дробей со знаменателями 8, 4 и 2 удобно взять единичный отрезок длиной в восемь клеточек. Чтобы отметить на координатном луче нужную дробь, единичный отрезок разбиваем на столько частей, каков знаменатель, и берем таких частей столько, каков числитель. Чтобы изобразить дробь 1/8, единичный отрезок разбиваем на 8 частей и берем 7 из них. Чтобы изобразить смешанное число 2 3/4, отсчитываем от начала отсчета два целых единичных отрезка, а третий разбиваем на 4 части и берем три из них:

Еще один пример: координатный луч с дробями, знаменатели которых равны 6, 2 и 3. В этом случае в качестве единичного удобно взять отрезок длиной шесть клеточек:

РАЗДЕЛ 1

СЧЕТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА

§ 3. КООРДИНАТНЫЙ ЛУЧ

Запишем натуральный ряд чисел:

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; ...

Числу 1 поставим в соответствие отрезок любой длины (рис. 41). Будем считать этот отрезок единичным отрезком. Его длина равна 1 ед. Тогда числу 2 соответствует отрезок, в два раза больше единичный отрезок, числу 3 - в три раза больше за единичный отрезок и т. д. Вообще, каждому натуральному числу n будет соответствовать отрезок, который в n раз больше за единичный отрезок.

На луче ОХ от его начала В последовательно отложим единичный отрезок (рис. 42), затем отрезок, что соответствует числу 2, числу 3 и т. д.

Можно ли на луче отложить самый длинный отрезок, который соответствует натуральному числу? Нет.

Разместим натуральный ряд чисел возле точек на луче ОХ так, как показано на рисунке 43. В конце его изображения поставим стрелку. Она, так же, как и три точки в записи натурального ряда, показывает, что в этом направлении натуральные числа возрастают бесконечно. Считают, что стрелка указывает направление отсчета, а В начале луча соответствует число 0.

Посмотрите на рисунок 43. Вы видите, что любые две соседние точки на луче ОХ являются концами отрезка, равной единичному отрезку. Действительно: 2 - 1 = 1 (ед.),..., 7- 6 = 1 (ед.), ... Это означает, что на луче ОХ введена шкала, то есть указано начало отсчета, направление отсчета и деление. Цена деления составляет 1 ед. и равна длине выбранного единичного отрезка. Для удобства концы деления на такой шкале зображатимемо черточками (рис. 44).

Луч, на котором введена шкала, называется координатным лучом.

Координатный луч является примером бесконечной шкалы.

На рисунке 45 точке D соответствует число 5 на координатном луче ОХ. Это число называют координатой точки D.

Кратко записывают: D (5). Читают: «Точка D с координатой 5 ».

Что показывает координата точки D на координатном луче ОХ? Количество единичных отрезков содержит отрезок OD , или, что то же, расстояние от точки D до начала О координатного луча ОХ.

Обратите внимание:

1) каждой точке на координатном луче соответствует единственная координата;

2) чем больше координата точки, тем больше расстояние от нее до начала координатного луча.

Задача. Найдите расстояние между точками А(2) и В (7).

Обратите внимание:

чтобы найти расстояние между двумя точками по их координатам, нужно от большей координаты вычесть меньшую координату.

Таким образом нередко действуют на практике. На рисунке 46 вы видите, как находят длину ключа с помощью линейки с отломанными краями.

Линейка с делениями из вашего принадлежностей (рис. 47) является примером конечной шкалы. На ней цена большого деления равна 1 см, а малого - 1 мм.

Вам приходилось встречать и другие шкалы: термометр для измерения температуры воздуха (рис. 48); спидометр, показывающий скорость автомобиля (рис. 49); часы со стрелками (рис. 50).

Есть часы на рисунке 51 примером шкалы? Нет. На нем нет делений.

Узнайте больше

1. Слово «шкала» происходит от итальянского scala , что означает «ступеньки» или «линейка»,

2. Одной из первых шкал считают солнечные часы (рис. 52). Это расположенный на ровной поверхности циферблат, на контуре которого размещается 12 штрихов (по количеству знаков зодиака), а в центре - вертикальный стержень. Вслед за Солнцем, переміщалось небосводу, перемещалась и тень от стержня, показывая время. Основным недостатком солнечных часов было то, что он «работал» только днем и только в солнечное время.

РЕШИТЕ ЗАДАЧИ

50. На рисунке 53 назовите:

1) начало координатного луча;

2) отрезок, что соответствует единичном отрезке;

3) координаты точек В, С, D .

81.По показателям термометра для измерения температуры воздуха на рисунке 54, а-в установите, какой была температура воздуха в течение дня.

82. Назовите координаты трех точек, расположенных на координатном луче правее точки А(5), и координаты трех точек, лежащих левее этой точки.

83. По показателям спидометра на рисунке 55, а-в установите, с какой скоростью двигался автомобиль.

84. Начертите координатный луч. За единичный отрезок примите длину одной клетки тетради. Отметьте на этом луче точки А(0), В(2), С(5), D (8), К(9), Е(12). Назовите все полученные отрезки и найдите их длины.

85. Начертите координатный луч. За единичный отрезок примите длину одной клетки тетради. Отметьте на этом луче точки М(1), N(4), F (6), К(7), L (10), P (11). Назовите все полученные отрезки и найдите их длины.

86.Начертите координатный луч, единичный отрезок которого равен трем клеточкам тетради. Отметьте на этом луче точки М(1), N (3), К(4), L (5).

87. Начертите координатный луч, единичный отрезок которого равен 1 см. Отметьте на этом луче точки А(0), В(2), C (3), D (5).

88. Определите координаты точек, изображенных на рисунке 56.

89. Определите координаты точек, изображенных на рисунке 57.

90. Обозначьте единичный отрезок и определите координаты точек, изображенных на рисунке 58.

91. Обозначьте единичный отрезок и определите координаты точек, изображенных на рисунке 59.

92. Запишите координаты точек, находящихся на расстоянии;

1) 2 ед. от точки А(6); 3) 3 ед. от точки С(2);

2) 4 ед. от точки В(9); 4) 5 ед. от точки N (12).

93. Запишите координаты точек, находящихся на расстоянии:

1) 1 ед. от точки М(7); 2) 8 ед. от точки К(8).

94. Найдите расстояние между точками:

1)А(4) и B (9); 2)С(2) i D 12); 3) М(23) и N (45).

95. Найдите расстояние между точками:

1) A (6) i N (11); 2)В(14) и М(20); 3) С(34) и K (52).

96. Начертите в тетради отрезок длиной 14 см. Над одним его концом поставьте число 0, а над вторым - 14. Разделите отрезок на 7 равных частей и обозначьте их точками. Укажите числа, соответствующие этим точкам.

97. На координатном луче (рис. 60) обозначены числа 1 и а. Перемалюйте рисунок в тетрадь и с помощью циркуля обозначьте на этом луче точки, соответствующие числам а+ 1; а - 1; а + 2; 2а.

98. Кузнечик скачет вдоль координатного луча попеременно: на 6 ед. справа и на 4 ед. слева. Сможет ли он за несколько прыжков из точки с координатой 2 попасть в точку: 1) с координатой 10; 2) с координатой 11? Ответ объясните.

99. Улитка за день поднимается на 4 м вверх, а за ночь спускается на 2 м вниз. За сколько дней она поднимется на вершину дерева, высота которого 10 м?

ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ

100. Конечные пункты автобусного маршрута - А и Б. Если ехать от А до Б, то остановка «Школа» - четвертая, а если ехать от Б до А, то остановка «Школа» - девятая. Сколько всего остановок на автобусном маршруте?

ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ

102. Вычислите устно:

1)18+17; 2)25 - 12; 3)9∙9; 4)30:2;

16 + 9; 81 - 41; 7∙11; 44:4.

103. Вычислите:

1) 950: 25 + 960: 60; 2) (4528 - 4239) : 17 - 12.

104. Найдите два числа на циферблате часов, если:

1) числа расположены напротив друг друга и их сумма равна 12;

2) числа расположены рядом друг с другом и их сумма равна 9.

105. Составьте задачу по такому выражению: 2 ∙ 150 + 3 ∙ 475.

Так единичный отрезок и его десятая, сотая и так далее доли позволяют нам попасть в точки координатной прямой, которым будут соответствовать конечные десятичные дроби (как в предыдущем примере). Однако на координатной прямой существуют точки, в которые мы не можем попасть, но к которым мы можем подойти сколь угодно близко, использую все меньшие и меньшие до бесконечно малой доли единичного отрезка. Этим точкам соответствуют бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби. Приведем несколько примеров. Одной из таких точек на координатной прямой соответствует число 3,711711711…=3,(711) . Чтобы подойти к этой точке нужно отложить 3 единичных отрезка, 7 его десятых долей, 1 сотую долю, 1 тысячную, 7 десятитысячных долей, 1 стотысячную, 1 миллионную долю единичного отрезка и так далее. А еще одной точке координатной прямой отвечает пи (π=3,141592... ).

Так как элементами множества действительных чисел являются все числа, которые можно записать в виде конечных и бесконечных десятичных дробей, то вся вышеизложенная в этом пункте информация позволяет утверждать, что каждой точке координатной прямой мы поставили в соответствие конкретное действительное число, при этом понятно, что разным точкам соответствуют разные действительные числа.

Также достаточно очевидно, что это соответствие является взаимно однозначным. То есть, мы можем указанной точке на координатной прямой поставить в соответствие действительное число, но мы также можем по данному действительному числу указать конкретную точку на координатной прямой, которой отвечает данное действительное число. Для этого нам придется отложить от начала отсчета в нужном направлении определенное количество единичных отрезков, а также десятых, сотых и так далее долей единичного отрезка. Например, числу 703,405 отвечает точка на координатной прямой, в которую из начала отсчета можно попасть, отложив в положительном направлении 703 единичных отрезка, 4 отрезка, составляющих десятую долю единичного, и 5 отрезков, составляющих тысячную долю единичного.

Итак, каждой точке на координатной прямой отвечает действительное число, и каждое действительное число имеет свое место в виде точки на координатной прямой. Вот почему координатную прямую очень часто называют числовой прямой .

Координаты точек на координатной прямой

Число, соответствующее точке на координатной прямой, называется координатой этой точки .

В предыдущем пункте мы сказали, что каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой, поэтому, координата точки однозначно определяет положение этой точки на координатной прямой. Иными словами, координата точки однозначно задает эту точку на координатной прямой. С другой стороны каждой точке на координатной прямой соответствует единственное действительное число – координата этой точки.

Осталось сказать лишь о принятых обозначениях. Координату точки записывают в круглых скобках справа от буквы, которой обозначена точка. Например, если точка М имеет координату -6 , то можно записать М(-6) , а запись вида означает, что точка М на координатной прямой имеет координату .

Список литературы.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.

Данная статья посвящена разбору таких понятий, как координатный луч и координатная прямая. Мы остановимся на каждом понятии и подробно рассмотрим примеры. Благодаря этой статье вы сможете освежить свои знания или ознакомиться с темой без помощи преподавателя.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Для того, чтобы определить понятие координатного луча, следует иметь представление о том, что такое луч.

Определение 1

Луч - это геометрическая фигура, которая имеет начало отсчета координатного луча и направление движения. Прямую обычно изображают горизонтально, указывая направление направо.

На примере мы видим, что O является началом луча.

Пример 1

Координатный луч изображается по той же схеме, но существенно отличается. Мы ставим точку отсчета и отмеряем единичный отрезок.

Пример 2

Определение 2

Единичный отрезок - это расстояние от 0 до точки, выбранной для измерения.

Пример 3

От конца единичного отрезка нужно отложить несколько штрихов и сделать разметку.

Благодаря манипуляциям, которые мы проделали с лучом, он стал координатным. Подпишите штрихи натуральными числами в последовательности от 1 - например, 2 , 3 , 4 , 5 ...

Пример 4

Определение 3

– это шкала, которая может длиться до бесконечности.

Зачастую его изображают лучом с началом в точке O , и откладывают единственный единичный отрезок. Пример указан на рисунке.

Пример 5

Мы в любом случае сможем продолжить шкалу до того числа, которое нам необходимо. Вы можете записывать числа как удобно – под лучом или над ним.

Пример 6

Для отображений координат луча могут использоваться как заглавные, как и строчные буквы.

Принцип изображения координатной прямой практически не отличается от изображения луча. Все просто - прочертите луч и дополните до прямой, придав положительное направление, которое указывается стрелочкой.

Пример 7

Проведите луч в противоположную сторону, дополнив его до прямой

Пример 8

Отложите единичные отрезки по примеру, указанному выше

С левой стороны запишите натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ... с противоположным знаком. Обратите внимание на пример.

Пример 9

Вы можете отметить только начало отсчета и единичные отрезки. Смотрите на примере, как это будет выглядеть.

Пример 10

Определение 4

– это прямая, которая изображается с определенной точкой отсчета, которая принимается за 0 , единичным отрезком и заданным направлением движения.

Соответствие между точками координатной прямой и действительными числами

Координатная прямая может содержать множество точек. Они напрямую связаны с действительными числами. Это можно определить, как взаимно однозначное соответствие.

Определение 5

Каждой точке на координатной прямой соответствует единственное действительное число, а каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой.

Для того, чтобы лучше понять правило, следует отметить точку на координатной прямой и посмотреть, какое натуральное число соответствует отметке. Если эта точка совпадает с началом отсчета, она будет отмечена нулем. Если точка не совпадает с началом отсчета, мы откладываем нужное количество единичных отрезков до тех пор, пока не достигнем указанной отметки. Число, записанное под ней, и будет соответствовать данной точке. На примере, указанном внизу, мы покажем вам это правило наглядно.

Пример 11

Если мы не можем найти точку, откладывая единичные отрезки, следует отмечать также точки, составляющие одну десятую, сотую или тысячную долю единичного отрезка. На примере можно подробно рассмотреть данное правило.

Отложив несколько подобных отрезков, мы сможем получить не только целое, но и дробное число – как положительное, так и отрицательное.

Отмеченные отрезки помогут нам отыскать на координатной прямой необходимую точку. Это могут быть как целые, так и дробные числа. Однако на прямой существуют точки, которые очень сложно найти с помощью единичных отрезков. Этим точкам соответствуют десятичные дроби. Для того, чтобы искать подобную точку, придётся откладывать единичный отрезок, десятую, сотую, тысячную, десятитысячную и другие его доли. Одной точке координатной прямой отвечает иррациональное число π (= 3 , 141592 . . .) .

Множество действительных чисел включается в себя все числа, которые можно записать в виде дроби. Это позволяет выявить правило.

Определение 6

Каждой точке координатной прямой соответствует конкретное действительное число. Разные точки определяют разные действительные числа.

Это соответствие однозначно –каждой точке соответствует определенное действительное число. Но это работает также и в обратном направлении. Мы также можем указать определенную точку на координатной прямой, которая будет относиться конкретному действительному числу. Если число не является целым, то нам необходимо отметить несколько единичных отрезков, а также десятых, сотых долей в заданном направлении. Например, числу 400350 отвечает точка на координатной прямой, в которую из начала отсчета можно попасть, отложив в положительном направлении 400 единичных отрезков, 3 отрезка, составляющих десятую долю единичного, и 5 отрезков – тысячную долю.